수학(Mathematics)과 증명 체계(Proof system)
수학이란 무엇일까? 수학이란 학문은 인류와 오랜 역사를 함께했음에도 불구하고 통상적인 정의를 찾아보기가 힘들다. 하물며 전공자도 아닌 취미로나마 공부하는 필자에게도 쉬운 질문일 리가 없다. 하지만 본격적으로 포스팅을 하기에 앞서 수학을 어떤 방식으로 학습해 나갈 지 새겨두는 것이 좋을 듯 하다.
수학(Mathematics, 數學)
개인적으로 수학은 '모든'이라는 단어에 집착하는 학문이라 생각한다. 그 만큼 이상적이며, 그 만큼 엄밀하다. 이를 위해 수학에서 채택한 방법이 바로 추상성과 연역논증이다.
먼저 추상성에 대해서는 크게 두 가지로 구분할 수 있다. 1과 같이 자연의 속성을 추상화해온 방법이 있고, -1과 같이 실재하지 않는 대상을 필요 혹은 확장에 의해 추상화하는 방법이 있다. 특히 후자의 경우 직관적으로 받아들이기 힘들다는 점이 있으나, 지금의 수학에서는 이를 고려하지 않는다. 오로지 충분한 논증을 통해 정의하고 증명할 뿐이다.
이런 추상적 대상을 명제(proposition, 命題)를 통해 증명하는 과정에서 연역논증의 방법이 필요하다.
Proposition is a logically clear sentence. In other words, it refers to a sentence contaning "objective situations" that can be verified as "true" or "false". (wikipedia, 2021)
명제는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말한다. 즉, '참' 혹은 '거짓'임을 검증할 수 있는 '객관적 사태'가 포함된 문장을 말한다.
연역논증(deductive argument)이란 전제로부터 참인 결론을 도출하는 방법이다. 그 예시로 가장 유명한 것이 아래의 선언적 삼단논법(disjunctive syllogism)이다.
| 전제 1 : 모든 사람은 죽는다. 전제 2 : 소크라테스는 사람이다. 결론 : 소크라테스는 죽는다. |
이 예시에서 결론이 참임을 부정하는 방법은 죽지 않는 사람이 존재한다고 밝히거나 소크라테스가 사람이 아니라고 밝히는 방법 뿐이다. 즉, 전제가 거짓일 경우에만 결론이 거짓이 된다. 하지만 수학에서는 공리라는 항상 참인 명제들을 도입하여 참인 결론들을 만들고 다시 이 결론으로 또 다른 참인 결론들을 만들어낸다.
(물론 현대 수학은 수학자 Kurt Gödel(쿠르트 괴델)의 불완전성 정리(incompleteness theorems)에 의해 무결성이 붕괴되었지만 이 점은 해당 부분을 공부할 때 다시 생각하도록 한다.)
용어
공리(Axiom, 公理)
An axiom is a proposition regarded as self-evidently true without proof. The word "axiom" is a slightly archaic synonym for postulate(공준, 公準). Compare conjecture or hypothesis, both of which connote apparently true but not self-evident statements. (Wolfram MathWorld, 2021)
공리는 앞서 말한 수학의 연역에서 가장 근본 전제로 사용된다. 즉, 참임이 자명하게 보장된 명제를 뜻한다.
다만, 현대 수학에서는 이론의 가장 근본에서 참이라고 가정한 명제로 여긴다.
정의(Definition, 正義)
A definition assigns properties to some sort of mathematical object. For example, Euclid's Elements starts with a number of definitions, such as "a line is a breadthless length." After definitions, Euclid gives postulates or axioms. Based on these, he provides a number of proofs and constructions. (Wolfram MathWorld, 2021)
정의는 수학적 객체(용어 또는 기호)의 의미를 규정하는 것이다. 예를 들어, 유클리드 원론에선 "직선은 폭이 없는 길이"와 같은 여러 정의들로 시작한다.
근본 원리(Primitive notion, 無定理 用語)
In mathematics, logic, philosophy, and formal systems, a primitive notion is a concept that is not defined in terms of previously-defined concepts. It is often motivated informally, usually by an appeal to intuition and everyday experience. In an axiomatic theory, relations between primitive notions are restricted by axioms. (Wikipedia, 2021)
근본 원리(혹은 무정의 용어)는 수학에서 정의되는 용어 중 가장 근본의 개념이다. 공리와 같은 맥락으로 누구에게나 같은 개념으로 받아들여질 수 있는 용어로, 가능한 적은 수의 개념을 채택하여 사용한다.
(무정의 용어라고 정의되어 있지 않은 것만 있는건 아니다. 그저 마지노선으로 정해놓은 것 뿐이다.)
정리(Theorem, 定理)
A theorem is a statement that can be demonstrated to be true by accepted mathematical operations and arguments. In general, a theorem is an embodiment of some general principle that makes it part of a larger theory. The process of showing a theorem to be correct is called a proof. (Wolfram MathWorld, 2021)
정리는 참임을 증명할 수 있는 명제를 말한다. 당연하게도 해당 정리의 공리들이 바뀌면 정리는 다시 참 혹은 거짓을 판별해야 하는 명제로 귀환한다. 즉, 정리는 특정 공리계의 일부로써 해당 공리계에 대해서만 보편성을 나타낸다.
보조 정리(Lemma, 補助定理)
In mathematics, informal logic and argument mapping, a lemma (plural lemmas or lemmata) is a generally minor, proven proposition which is used as a stepping stone to a larger result. For that reason, it is also known as a "helping theorem" or an "auxiliary theorem" (Wikipedia, 2021)
보조 정리는 하나의 명제를 증명하는 데 있어서 수학적 엄밀함의 결함이 생기지 않도록 도와주는 정리이다.
따름 정리(Corollary, 補助定理)
An immediate consequence of a result already proved. Corollaries usually state more complicated theorems in a language simpler to use and apply. (Wolfram MathWorld, 2021)
따름 정리는 특정 명제가 증명됨과 동시에 추가 증명의 과정 없이 자명하게 참이 되는 명제이다.
가설(Hypothesis, 假說)
A hypothesis is a proposition that is consistent with known data, but has been neither verified nor shown to be false. (Wolfram MathWorld, 2021)
가설은 참이라고 증명되진 않았지만, 현재까지 반례 없는 데이터를 갖고 있는 명제이다. 추측(Conjecture, 推測)과 동의어로 사용된다.